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导读：　数学实践报告数学实践报告（八组）探讨利用微分关系绘制梁的剪力弯矩图实践项目：利用微分绘制剪力弯矩图  实践目的：将理论知识...

数学实践报告

数学实践报告（八组）
探讨利用微分关系绘制梁的剪力弯矩图

实践项目：利用微分绘制剪力弯矩图
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实践目的：将理论知识应用于实践，跨学科学习，是一个大学生的能力。学校为大一开设了两学期的工程应用数学，讲了微分及微分方程，而作为建工技术的专业基础课——力学，里面介绍了一项利用微分关系绘制剪力，弯矩图的方法。所以我们探讨怎样利用数学中的微分关系解决力学中的剪力，弯矩图绘制的问题。

先从数学中的微分定义入手，设函数y﹦f（x）在某区间内有意义，x0+Δx及x0在这区间内如果函数的增量 Δy﹦f（x0+Δx）‐f（x0）可表示为Δy=AΔx+o（Δx）其中A是不依赖于Δx的常数，而o（Δx）是比高阶的无穷小。那么称函数y=f（x）在点x0是可微的，而AΔx叫做函数y=f（x）在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记 dy即dy=AΔx。  接着咱们就通过微分来探讨一下均布荷载和剪力、弯矩的关系，如图11.19（a）所示，简支梁上作用分布荷载 q﹦q（x）是横截面位置x的函数，并规定向上为正、向下为负，选取支座A为坐标原点，是x轴以向右为正。
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用坐标为x和x+dx的两个相邻截面，假想从梁中截取长度为dx的微段来进行分析（图11.19b）设坐标为x的横截面上的剪力为Q （x）弯矩为M（x），该处的分布荷载为q（x）；当坐标增加dx 微段时，横截面上的剪力和弯矩也将产生一定的增量。因此，在坐标为x+dx的截面上的剪力应为Q（x）+dQ（x），弯矩为M（x） +dM（x）。上述剪力和弯矩均假设为正值。因为dx微段很小，所以认为分布荷载集度q（x）在该段上均匀分布。对于dx微段而言，截面上的剪力和弯矩及分布荷载均匀为外力，在这些外力作用下微段处于平衡状态，于是该微段的平衡方程如下。由 ∑Y=0， Q（x）‐［Q（x）+dQ（x）］+q（x） dx=0 得 dQ（x）\dx=q（x）（11.1）式（11.1）表明，梁任意截面上的剪力对x的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是，剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。由 ∑Mo=0，［M（x）+dM（x）］‐M（x）‐Q（x）dx‐q （x）dx*dx﹨2﹦0 忽略高阶微量q（x）dx*dx﹨2，得dM（x）\dx=Q（x）（11.2）

 式（11.2）表明，梁任意截面上的弯矩对x的一阶导数等于作用该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是，弯矩图上的某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。  由式（11.1）和式（11.2）可得：  d² M（x）\dx² =dQ（x）\dx=q（x）（11.3）  式（11.3）表明，梁任意截面上的弯矩对x的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几

数学实践报告(2)

数学实践报告
实践目的：了解数学与力学的关系实践项目：用积分法计算梁的变形

详例：
 介绍数学知识积分：  积分对于我们理工科学生来说非常重要它可分为:定积分与不定积分  利用定积分可以求出曲边梯形面积。解决不规则图形求面积S.  例：抛物线y2=x-2与直线y=x-4围成的S.  解：y2=x-2与y=x-4有交点为（3,-1） (6,2)  ∫=∫-12（y+4-(2+y2)dy=9/2

通过此例说明定积分对于解决区边图形面积方便简单。（参考书：应用数学练习册）不定积分：可以解决物理.力学等科目，让专业问题数学化

 例：真空中自由下落物体时间t速度v。  v=v(t)=gt

 所以求运动规律就是指物体经过路程， s与t之间数学函数式S=S(t)  于是有S=S(t)=V=gt而且t=0时，根据导数公式。  S=½gt² v=s=(½gt² )=gt  参考书：工程应用数学

利用定积分来解决粱的变形。
梁的弯曲变形包括挠度和转角
转角方程：  = dx =- EI = Z 积分得挠度方程y=- EI Z
1
dy

1

[∫M(x)dx+c]
{∫[M(x)dx]dx+cx+d}

以上CD为积分常数，通过梁的挠度曲线上的位移条件来确定，引入边界条件概念：已知挠曲线上的位置条件称为边界条件 A简支梁的边界条件：

YA =0

YB =0

YA =0

A  0

1. 简支梁AB受均布荷载q作用，EIz为常数，试求转角和挠曲线转角

B  A

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再见
小组成员： 刘飞 吴春涛 邓永浩 朱明益 杨传棨 金林善